Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁和B₁B的中点．
（1）求直线AM和CN所成角的大小；
（2）若P为B₁C₁的中点，求证：B₁D⊥平面PMN；
（3）求点A到平面PMN的距离．

Answer 1

分析：（1）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B₁，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（2）根据面面平行的判定定理证明平面A₁C₁B∥平面MNP，而B₁D⊥平面A₁C₁B，从而得到结论；
（3）利用等体积转化，设点A到平面PMN的距离为h，V_A-MNP=V_P-MNA建立等式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）如图，将AM平移到B₁E，NC平移到B₁F，则∠EB₁F为直线AM与CN所成角或其补角
设边长为2，则B₁E=B₁F=

5

，EF=

6

∴由余弦定理得cos∠EB₁F=

2

5

，
即直线AM和CN所成角的大小为arccos

2

5

（2）根据中位线定理可知MN∥A₁B，NP∥C₁B
∴MN∥平面A₁C₁B，NP∥平面A₁C₁B，MN∩NP=P
∴平面A₁C₁B∥平面MNP，
而B₁D⊥平面A₁C₁B，
所以B₁D⊥面PMN；
（3）S_△MNP=

3

2

，S_△MNA=

3

2

设点A到平面PMN的距离为h
∴V_A-MNP=V_P-MNA
即

1

3

S_△MNPh=

1

3

S_△MNA×1
∴h=

3

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，以及线面垂直的判定和点面距离的度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．