Question

15．已知$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
（1）求|$\overrightarrow{x}$|，|$\overrightarrow{y}$|；
（2）若$\overrightarrow{x}$与$\overrightarrow{y}$的夹角为θ，求cosθ值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，再根据|$\overrightarrow{x}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，|$\overrightarrow{y}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，计算求得结果．
（2）由条件利用两个向量的夹角公式求得cosθ值．

解答 解：（1）根据已知$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴|$\overrightarrow{x}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{y}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{5}$．
（2）若$\overrightarrow{x}$与$\overrightarrow{y}$的夹角为θ，∵$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}|•|\overrightarrow{y}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．