Question

某电视台“挑战60秒”活动规定上台演唱：
（Ⅰ）连续达到60秒可转动转盘（转盘为八等分圆盘）一次进行抽奖，达到90秒可转两次，达到120秒可转三次（奖金累加）．
（Ⅱ）转盘指针落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区依次为一等奖（500元）、二等奖（200元）、三等奖（100元），落在其它区域不奖励．
（Ⅲ）演唱时间从开始到三位评委中至少1人呜啰为止，现有一演唱者演唱时间为100秒．
（1）求此人中一等奖的概率；
（2）设此人所得奖金为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）利用相互独立事件的概率乘法公式能求出此人中一等奖的概率．
（2）此人所得奖金ξ的所有可能取值为0，100，200，300，400，500，600，700，1000，分别求出相应的概率，能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．

解答： 解：（1）此人中一等奖的概率：
p=

1

8

×

1

8

+

1

8

×

7

8

+

7

8

×

1

8

=

15

64

．
（2）此人所得奖金ξ的所有可能取值为0，100，200，300，400，500，600，700，1000，
P（ξ=0）=

5

8

×

5

8

=

25

64

，P（ξ=100）=

1

8

×

5

8

+

5

8

×

1

8

=

10

64

，
P（ξ=200）=

1

8

×

1

8

+

1

8

×

5

8

+

5

8

×

1

8

=

11

64

，P（ξ=300）=

1

8

×

1

8

+

1

8

×

1

8

=

2

64

，
P（ξ=400）=

1

8

×

1

8

=

1

64

，P（ξ=500）=

1

8

×

5

8

+

5

8

×

1

8

=

10

64

，
P（ξ=600）=

1

8

×

1

8

+

1

8

×

1

8

=

2

64

，P（ξ=700）=

1

8

×

1

8

+

1

8

×

1

8

=

2

64

，P（ξ=1000=

1

8

×

1

8

=

1

64

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	100	200	300	400	500	600	700	1000
P	25 64	10 64	11 64	2 64	1 64	10 64	2 64	2 64	1 64

∴Eξ=100×

10

64

+200×

11

64

+300×

2

64

+400×

1

64

+500×

10

64

+600×

2

64

+700×

2

64

+1000×

1

64

=200．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．