Question

用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.

Answer 1

当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为a²bcos.

如图，设矩形木板的长边AB着地，并设OA=x，OB=y，则a²=x²+y²－2xycosα≥2xy
－2xycosα=2xy(1－cosα).
∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤ (当且仅当x=y时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V₁=(xysinα)b= 同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V的最大值V₂=ab²cos,
∵a＞b,∴V₁＞V₂
从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为a²bcos.