Question

3．等比数列{a_n}中，公比q≠1，它的前n项和为M，数列{$\frac{2}{{a}_{n}}$}的前n项和为N，则$\frac{M}{N}$的值为$\frac{{{{a}_{1}}^{2}q}^{n-1}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，求出等比数列{a_n}的前n项和M与数列{$\frac{2}{{a}_{n}}$}的前n项和N，计算$\frac{M}{N}$的值即可．

解答 解：等比数列{a_n}中，公比q≠1，设首项为a₁，
则它的前n项和为M=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n}）}{1-q}$，
所以数列{$\frac{2}{{a}_{n}}$}的首项为$\frac{2}{{a}_{1}}$，公比为q′=$\frac{1}{q}$，
它的前n项和为N=$\frac{\frac{2}{{a}_{1}}[1{-（\frac{1}{q}）}^{n}]}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{2{（q}^{n}-1）}{{{a}_{1}q}^{n-1}（q-1）}$，
所以$\frac{M}{N}$=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n}）}{1-q}$•$\frac{{{a}_{1}q}^{n-1}（1-q）}{2（1{-q}^{n}）}$=$\frac{{{{a}_{1}}^{2}q}^{n-1}}{2}$．
故答案为：$\frac{{{{a}_{1}}^{2}q}^{n-1}}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的定义与前n项和公式的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．