Question

在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c=1．
（1）若C=，cos（θ+C）=，0＜θ＜π，求cosθ；
（2）若C=，sinC+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）∵C=，cos（θ+C）=，0＜θ＜π，
∴sin（）==
∴cosθ=cos[（）-]=cos（）cos+sin（）sin=；
（2）∵sinC+sin（A-B）=3sin2B，
∴sin（A+B）+sin（A-B）=6sinBcosB，
∴2sinAcosB=6sinBcosB，
∴cosB=0或sinA=3sinB，
∴B=或a=3b，
若B=，C=，则S=c•c•tanA=；
若a=3b，C=，则由余弦定理得a²+b²-ab=1
∴，
∴S=absinC=．
分析：（1）先计算sin（），根据cosθ=cos[（）-]，利用差角的余弦公式，即可求cosθ；
（2）根据sinC+sin（A-B）=3sin2B，可得B=或a=3b，再分类讨论，即可求△ABC的面积．
点评：本题考查三角恒等变换，考查三角函数的化简，考查三角形面积的计算，属于中档题．