Question

6．已知全集U=R，A={x∈R|x²-3x+b=0}，B={x∈R|（x-2）（x²+3x-4=0）}．
（1）若b=4时，存在集合M使得A是M的真子集，M是B的真子集，求出所有这样的集合M；
（2）集合A，B是否能满足（∁_UB）∩A=∅？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件易知M应该是Q的一个非空子集，用列举法可得这样的M个数．
（2）由（C_UQ）∩P=∅可得P⊆Q，当P=∅时求出b的范围．当P≠∅时，由Q={-4，1，2}，分-4∈P、1∈P、2∈P，分别求出b的范围，再把b的范围取并集，即得所求．

解答 解：（1）由条件易知b=4时，P=∅，且Q={-4，1，2}，由已知P?M⊆Q可得，M应该是一个非空集合，
且是Q的一个子集，用列举法可得这样的M共有如下7个：
{-4}、{1}、{2}、{-4，1}、{-4，2}、{1，2}、{-4，1，2}．
（2）由（C_UQ）∩P=∅可得P⊆Q，
当P=∅时，P是Q的一个子集，此时△=9-4b＜0，∴b＞$\frac{9}{4}$．
当P≠∅时，∵Q={-4，1，2}，若-4∈P，解得b=-28，此时，P={-4，7}，不满足P⊆Q．
若1∈P，解得b=2，此时，P={1，2}，满足P⊆Q．
若2∈P，解得b=2，此时，P={1，2}，满足P⊆Q．
综上可得，当P=∅或P={1，2}时，满足P⊆Q，（C_UQ）∩P=∅．
故实数b的取值范围为{b|b＞$\frac{9}{4}$，或b=2 }．

点评 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．