Question

已知p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0； q：实数x满足2＜x≤3．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）先通过解一元二次不等式求出p下的x的取值范围：a＜x＜3a，a=1时，所以p：1＜x＜3．根据p∧q为真得p，q都真，所以

1＜x＜3 2＜x≤3

，所以解该不等式组即得x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，则：

a≤2 3a＞3

，所以解该不等式组即得a的取值范围．

解答： 解：（1）p：由原不等式得，（x-3a）（x-a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；
当a=1时，得到1＜x＜3；
q：实数x满足2＜x≤3；
若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）；
（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；
∴

a≤2 3a＞3

，解得1＜a≤2；
∴实数a的取值范围是（1，2]．

点评：考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．