Question

已知函数f(x)=x+

a2

x

，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使对任意的x₁，x₂∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数极值点的导数等于0，且此点的左侧和右侧导数的符号相反，求得实数a的值．
（2）问题等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]时，都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max，分类讨论，利用导数的符号
判断函数的单调性，由单调性求出函数f（x）的最小值及g（x）]的最大值，根据它们之间的关系求出
实数a的取值范围．

解答：（1）解：∵h(x)=2x+

a2

x

+lnx，其定义域为（0，+∞），∴h′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

．
∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h'（1）=0，即3-a²=0，∵a＞0，∴a=

3

．
经检验，当a=

3

时，x=1是函数h（x）的极值点，∴a=

3

．
（2）解：假设存在实数a，对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]时，都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max，当x∈[1，e]时，g′(x)=1+

1

x

＞0．
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]_max=g（e）=e+1．
∵f′(x)=1-

a2

x2

=

(x+a)(x-a)

x2

，且x∈[1，e]，a＞0，
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＞0，
∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是增函数．∴[f（x）]_min=f（1）=1+a²．
由1+a²≥e+1，得  a≥

e

，又0＜a＜1，∴a  不合题意．
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＜0，若a＜x≤e，则f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＞0．
∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[f（x）]_min=f（a）=2a.2a≥e+1，得  a≥

e+1

2

，1≤a≤e，∴

e+1

2

≤a≤e．
③当a＞e且x∈[1，e]时，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＜0，
∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是减函数．∴[f(x)]min=f(e)=e+

a2

e

．
由e+

a2

e

≥e+1，得  a≥

e

，又a＞e，∴a＞e．
综上所述，存在正实数a的取值范围为 [

e+1

2

，+∞)．

点评：本题考查函数在某点存在极值的条件，利用导数求函数在闭区间上的最值．