Question

13．已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．下列四个命题：

x	-1	0	4	5
f（x）	-1	-2	-2	-1

①函数f（x）的极大值点为2；
②函数f（x）在[2，4]上是减函数；
③如果当x∈[m，5]时，f（x）的最小值是-2，那么m的最大值为4；
④函数y=f（x）-a（a∈R）的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的是①②③④．

Answer 1

分析 先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对4个命题，一一进行验证可得到答案．

解答 解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：

由图得：①由图象可知f′（2）=0，f（x）在x=2处取得极大值，故①正确；
②因为在[2，4]上导函数为负，故原函数递减，故②正确；
③如果当x∈[m，5]时，f（x）的最小值是-2，则m∈[-1，4]，即m的最大值为4，故③正确；
④由图可知：
若f（2）=M＞-1时，函数的最大值为M，则：
当a＞M或a＜-2时，函数y=f（x）-a有0个零点；
当a=M时，函数y=f（x）-a有1个零点；
当a=-2或-1＜a＜M时，函数y=f（x）-a有2个零点；
当-2＜a≤-1时，函数y=f（x）-a有4个零点；
若f（2）=M=-1时，函数的最大值为-1，则：
当a＞-1或a＜-2时，函数y=f（x）-a有0个零点；
当a=-2时，函数y=f（x）-a有2个零点；
当a=-1时，函数y=f（x）-a有3个零点；
当-2＜a≤-1时，函数y=f（x）-a有4个零点；
若f（2）=M＜-1时，函数的最大值为-1，则：
当a＞-1或a＜-2时，函数y=f（x）-a有0个零点；
当a=-2或M＜a＜-1时，函数y=f（x）-a有2个零点；
当a=M时，函数y=f（x）-a有3个零点；
当-2＜a＜M时，函数y=f（x）-a有4个零点；
故函数y=f（x）-a（a∈R）的零点个数可能为0、1、2、3、4个，故④正确；
综上得：真命题有①②③④．
故答案为：①②③④

点评 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减