Question

如图，已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的右准线交x轴于A，虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于P，过点A、B的直线与FP相交于点D，且2

OD

=

OF

+

OP

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若a=2，过点（0，-2）的直线l交该双曲线于不同两点M、N，求

OM

•

ON

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可分别表示出点A、B、P、F的坐标，则直线AB的方程可表示出，把x=c代入求得y，则d点坐标可得，根据2

OD

=

OF

+

OP

，可知2(c，

b3

a2

)=(c，0)+(c，

b2

a

)，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线离心率可得．
（Ⅱ）根据（1）中a和b的关系式根据a可求得b，则双曲线方程可得，设出直线l的方程与双曲线方程联立消去y，根据根据判别式求得k的范围，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而表示出

OM

•

ON

，根据k的范围确定其取值范围．

解答：解：（Ⅰ）点A、B、P、F的坐标分别为A(

a2

c

，0)，B（0，-b），P(c，

b2

a

)，F（c，0），
直线AB的方程为

x

a2 c

+

y

-b

=1，令x=c，则y=

b3

a2

，知D(c，

b3

a2

)，
∵2

OD

=

OF

+

OP

，∴2(c，

b3

a2

)=(c，0)+(c，

b2

a

)，则

2b3

a2

=

b2

a

，∴a=2b，
∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

1+( b a )2

=

5

2

．

（Ⅱ）∵a=2，∴b=1，双曲线的方程是

x2

4

-y2=1，知直线l的斜率存在，
设直线l方程为y=kx-2，联立方程组

x2 4 -y2=1 y=kx-2

得（1-4k²）x²+16kx-20=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

1-4k2≠0 △=(16k)2+80(1-4k2)＞0

解得k2＜

5

4

且k2≠

1

4

．
∴x1+x2=

16k

4k2-1

，x1x2=

20

4k2-1

．

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=

20(1+k2)

4k2-1

-

32k2

4k2-1

+4=

4k2+16

4k2-1

=1+

17

4k2-1

，
∵0≤k2＜

5

4

且k2≠

1

4

，∴

17

4k2-1

∈(-∞，-17]∪(

17

4

，+∞)，
则

OM

•

ON

的范围是(-∞，-16]∪(

21

4

，+∞)．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了直线与圆锥曲线的位置关系．综合考查了学生基础知识的掌握和理解．