Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F₁、F₂，P是右支上一点，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，|OH|=λ|OF₁|．
（1）当λ=$\frac{1}{3}$时，求双曲线的渐近线方程；
（2）求λ的取值范围；
（3）若λ∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$]，求$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用双曲线的定义，结合条件可得|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，求得|PF₁|，由三角形的相似可得λ=$\frac{OH}{O{F}_{1}}$=$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$，代入λ=$\frac{1}{3}$，可得a=b，进而得到渐近线方程；
（2）运用（1）的结论$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2λ}{1-λ}$＞0，可得范围；
（3）运用（1）的结论可得$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{1}{λ}$，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由双曲线的定义可得|PF₁-|PF₂|=2a，
又PF₂⊥F₁F₂，可得|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有|PF₁|=$\frac{2{a}^{2}+{b}^{2}}{a}$，
由λ=$\frac{OH}{O{F}_{1}}$=$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{{b}^{2}}{2{a}^{2}+{b}^{2}}$，
可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2λ}{1-λ}$，
当λ=$\frac{1}{3}$时，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1，即有a=b，
双曲线的渐近线方程为y=±x；
（2）由（1）可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2λ}{1-λ}$＞0，
解得0＜λ＜1；
（3）由（1）可知，$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{1}{λ}$，
由λ∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$]，则$\frac{1}{λ}$∈[2，8]．
$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的取值范围为[2，8]．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查渐近线方程的求法和不等式的性质，以及解法，属于中档题．