Question

每年暑假期间，安徽卫视播出的《男生女生向前冲》闯关节目都非常火，闯关规则为：如果单人通过所有关卡达到终点，则可获得一台空调，今年高考结束够，高三某班学生为了放松一下，挑选了3名男生．3名女生组成男生队与女生队两个队伍参加这档节目，3名男生能成功到达终点得概率分别为

1

4

，

1

5

，

1

6

．3名女生体质差不多，每位女生能成功到达终点得概率均为

1

5

（男生和女生之间没有影响）
（1）求男生队没有获得空调且女生队获得三台空调的概率；
（2）设男生队获得空调的台数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,列举法计算基本事件数及事件发生的概率,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）男生队没有获得空调且女生队获得三台空调，是指三名男生都没有到达终点，三名女生都成功到达终点，由此能求出男生队没有获得空调且女生队获得三台空调的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望．

解答： 解：（1）∵男生队没有获得空调且女生队获得三台空调，
∴三名男生都没有到达终点，三名女生都成功到达终点，
∴男生队没有获得空调且女生队获得三台空调的概率：
p=（1-

1

4

）（1-

1

5

）（1-

1

6

）×（

1

5

）³=

1

250

．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-

1

4

）（1-

1

5

）（1-

1

6

）=

1

2

，
P（ξ=1）=

1

4

（1-

1

5

）（1-

1

6

）+

1

5

(1-

1

4

)(1-

1

6

)+

1

6

(1-

1

4

)(1-

1

5

)=

47

120

，
P（ξ=2）=

1

4

×

1

5

(1-

1

6

)+

1

4

(1-

1

5

)×

1

6

+（1-

1

4

）×

1

5

×

1

6

=

1

10

，
P（ξ=3）=

1

4

×

1

5

×

1

6

=

1

120

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 2	47 120	1 10	1 120

Eξ=0×

1

2

+1×

47

120

+2×

1

10

+3×

1

120

=

37

60

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意对立事件概率计算公式的合理运用．