Question

【题目】已知椭圆的右焦点在圆上，直线交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若（为坐标原点），求的值；

（3）设点关于轴对称点为（与点不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为1.

【解析】

（1）由圆，令，求得或，进而求得的值，得到椭圆的标准方程；

（2）把直线MN的方程与椭圆的方程联立方程组，利用根与系数的关系，结合，列出方程，求得的值，即可得到结论；

（3）由椭圆的对称性可得，得出MN的直线方程，求得与轴的交点所以，得到，利用三角形的面积公式和基本不等式，即可求解.

（1）由题意，圆，令，解得或，

即圆与轴交点分别为，，所以或，

又由，因为，所以或，

又因为，所以，故椭圆方程是.

（2）设，，

联立方程组，整理得，

所以，，则，

因为，可得，所以，

代入可得，解得，

所以，即为定值.

（3）由椭圆的对称性可得，，

所以直线的方程为，

令，可得，

所以，得到.

所以

，

当且仅当时，即时取等号，所以的面积最大值为1.