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(2008•湖北模拟)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.3万元/辆,年销售量为50000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆投入成本增加比例为x(0<x<1),则出厂价格相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加,已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.
(Ⅰ)若年销售量增加的比例为0.4x,写出本年度的年利润关于x的函数关系式;
(Ⅱ)若年销售量关于x的函数为y=3240(-x2+2x+
53
)
,则当x为何值时,本年度的年利润最大?最大利润是多少?
分析:(I)根据年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.可设年利润为y,从而可以构建函数关系式;
(Ⅱ)根据年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量可得函数关系式,再利用导数法求最值.
解答:解:(I)设年利润为y,则有y=[1.3(1+0.7x)-1×(1+x)]50000(1+0.4x)=50(-36x2+30x+300).
即y=-1800x2+1500x+15000,x∈(0,1).(4分)
(Ⅱ)依题意年利润f(x)=[1.3(1+0.7x)-1×(1+x)]×3240(-x2+2x+
5
3
),  x∈(0,  1)

f(x)=
162
5
(9x3-48x2+45x+50),  x∈(0,  1)
.(6分)
要求f(x)的最大值,即求g(x)=9x3-48x2+45x+50,x∈(0,1)的最大值.g'(x)=27x2-96x+45.
由g'(x)=0得x=
5
9
或x=3(舍).(8分)
x∈(0,  
5
9
)
时,g'(x)>0;当x∈(
5
9
,  1)
时,g'(x)<0.
x=
5
9
时,g(x)有最大值,g(x)max=g(
5
9
)=
5000
81
.(10分)
f(x)max=f(
5
9
)=
162
5
×
5000
81
=2000
.(11分)
答:当x=
5
9
时,本年度年利润最大为2000万元.(12分)
点评:本题的考点是函数模型的选择与应用,主要考查二次函数模型的构建,关键是利用年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.同时考查导数法求函数的最值.
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k
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a
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)
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a
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b
=(
2
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,已知角α(α∈(-
π
2
π
2
))
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a
b

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