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已知函数,其中e为自然对数的底数,且当x>0时恒成立.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)求实数a的所有可能取值的集合;
(Ⅲ)求证:.
(Ⅰ) 减区间是,增区间是;(Ⅱ);(Ⅲ)详见解析.

试题分析:(Ⅰ)确定定义域,求,由 求得增区间,由 求得减区间;(Ⅱ)利用在区间上,恒成立,则求解;(Ⅲ)利用构造法,构造新函数求解.
试题解析:(Ⅰ),,
的减区间是,增区间是.                       (2分)
(Ⅱ)恒成立,即,
,恒成立.                              (3分)
,,
由于上是增函数,且,
时,是减函数,时,是增函数,
,从而若恒成立,必有.   (5分)
,的取值集合为.                               (6分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,即,当且仅当时等号成立,
时,有.      
,                       (9分)
,
,
时,是减函数,
时,是增函数,
,即成立.                    (12分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数,,其中R.
(1)讨论的单调性;
(2)若在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(3)设函数,当时,若,总有成立,求实数的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

上定义的函数是偶函数,且.若在区间上的减函数,则 (    )
A.在区间上是增函数, 在区间上是增函数
B.在区间上是增函数, 在区间上是减函数
C.在区间上是减函数, 在区间上是增函数
D.在区间上是减函数, 在区间上是减函数

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知函数,构造函数的定义如下:当时,,当时,,则(    )
A.有最小值0,无最大值B.有最小值-1,无最大值
C.有最大值1,无最小值D.无最大值,也无最小值

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已知函数,若是从三个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为(       )
A.B.C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知函数的定义域是,若对于任意的正数,函数 都是其定义域上的减函数,则函数的图象可能是
   
A.                 B.                C.                 D.

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已知,奇函数上单调,则实数b的取值范围是__________.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

上是减函数,则的取值范围是(     )
A.B.C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知函数上的单调递增函数,若是其图像上的两点,则不等式的解集是             

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