Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体中，动点在线段上运动，且有.

（1）若，求证：；

（2）若二面角的平面角的余弦值为，求实数的值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）当时，与重合，连接，可得，再由正方体特征可证得，即可证得平面，问题得证。

（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.分别求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，利用向量夹角的坐标表示列方程即可求得，问题得解。

（1）当时，与重合，连接，

则在正方形中，.

又在正方体中底面，而平面，所以.

，所以平面，

而平面，所以，也即.

（2）依题意，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，.

，，.

设平面的一个法向量，

则，即，

取得.

设平面的一个法向量，

则，即，

取得.

所以 ，

解得或.

因为，所以.