Question

【题目】已知关于x的函数y=（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1恒有零点．
（1）求m的范围；
（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为﹣4，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m+6=0时，m=﹣6，函数为y=﹣14x﹣5显然有零点．

当m+6≠0时，m≠﹣6，由△=4（m﹣1）2﹣4（m+6）（m+1）=﹣36m﹣20≥0，得m≤﹣ ．

∴当m≤﹣ 且m≠﹣6时，二次函数有零点．

综上可得，m≤﹣ ，即m的范围为（﹣∞，﹣ ]

（2）解：设x1，x2是函数的两个零点，则有 x1+x2=﹣ ，x1x2= ．

∵ + =﹣4，即 =﹣4，

∴﹣ =﹣4，解得m=﹣3．

且当m=﹣3时，m+6≠0，△＞0，符合题意，

∴m的值为﹣3

【解析】（1）当m+6=0时，即m=﹣6时，满足条件．当m+6≠0时，由≥0求得m≤﹣ 且m≠﹣6．综合可得m的范围．（2）设x1，x2是函数的两个零点，由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得m的值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和函数的零点的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能正确解答此题．