Question

【题目】在四棱锥P–ABCD中，ABCD是矩形，PA=AB，E为PB的中点．

（1）若过C，D，E的平面交PA于点F，求证：F为PA的中点；

（2）若平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥PA．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）推导出，从而平面PAB，进而CD∥EF，AB∥EF，再由E为PB的中点，能证明F为PA的中点；（2）推导出AE⊥PB，从而AE⊥平面PBC，AE⊥BC，由ABCD是矩形，得AB⊥BC，从而BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PA．

（1）因为ABCD是矩形，

所以，CD∥AB，又AB平面PAB，CD平面PAB，

所以CD∥平面PAB，

又CD平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB=EF，

所以CD∥EF，

所以AB∥EF，又在△PAB中，E为PB的中点，

所以F为PA的中点．

（2）因为PA=AB，E为PB的中点，所以AE⊥PB，

AE平面PAB又平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，

所以AE⊥平面PBC，

BC平面PBC，所以AE⊥BC，又ABCD是矩形，

所以AB⊥BC，AE∩AB=A，AB，AE平面PAB，

所以，BC⊥平面PAB，

PA平面PAB，所以BC⊥PA．