Question

7．设函数f（x）=|2x-a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得，|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0 恒成立．令h（x）=|2x-a|+|2x+1|-x-2，化简它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤g（x）即|2x-1|+|2x+1|≤x+2，
等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-4x≤x+2}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\\{2≤x+2}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{4x≤x+2}\end{array}\right.$ ③．
解①求得 x无解，解②求得0≤x＜$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{2}{3}$，
综上，不等式的解集为{x|0≤x≤$\frac{2}{3}$}．
（2）由题意可得|2x-a|+|2x+1|≥x+2恒成立，转化为|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0 恒成立．
令h（x）=|2x-a|+|2x+1|-x-2=$\left\{\begin{array}{l}{-5x+a-3，x≤-\frac{1}{2}}\\{-x+a-1，-\frac{1}{2}＜x＜\frac{a}{2}}\\{3x-a-1，x≥\frac{a}{2}}\end{array}\right.$ （a＞0），
易得h（x）的最小值为 $\frac{a}{2}$-1，令 $\frac{a}{2}$-1≥0，求得a≥2．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．