Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21）其中λ为实数，且λ≠-18，n为正整数．
（Ⅰ）求证：{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比数列定义，只要证出

bn+1

bn

是一个与n无关的常数即可．
（Ⅱ）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论

解答：解：（Ⅰ）∵

bn+1

bn

=

(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]

(-1)n(an-3n+21)

=-

( 2 3 an+n-4)-3(n+1)+21

an-3n+21

=-

2 3 an-2n+14

an-3n+21

=-

2

3

∴{b_n}是以-

2

3

为公比的等比数列；且首项为b₁=-（λ+18）．
（Ⅱ）S_n=

-(λ+18)[1-(- 2 3 )n]

1-(- 2 3 )

=

-3(λ+18)[1-(- 2 3 )n]

5

要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，
即a＜

-3(λ+18)[1-(- 2 3 )n]

5

＜b（n∈N⁺），
变形为

a

1-(- 2 3 )n

＜

-3(λ+18)

5

＜

b

1-(- 2 3 )n

令f（n）=1-(-

2

3

)n   ①
当n为正奇数时，1＜f（n）≤

5

3

；当n为正偶数时，

5

9

≤f（n）＜1，
∴f（n）的最大值为f（1）=

5

3

，f（n）的最小值为f（2）=

5

9

，．
于是，由①式得

9

5

a＜

-3(λ+18)

5

＜

3

5

b，-18-3a＞λ＞-18-b．
当a＜b≤3a时，由-b-18≥=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）

点评：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．可以作为一套卷的压轴题．