Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=

π

6

，c=

3

，b=1．
（Ⅰ）求a的长及B的大小；
（Ⅱ）若0＜x≤B，求函数f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值，得到a与b相等，根据等边对等角得到A与B相等，进而得到B的度数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的B的度数，得到x的范围，把所求函数解析式的第1项利用二倍角的正弦函数公式化简，第2，3项提取

3

后，利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简为一个角的正弦函数，由x的范围，得出这个角的范围，根据角度的范围求出正弦函数的值域即可得到f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=4-2

3

cos

π

6

=1，
∴a=b=1，∴B=A=

π

6

；
（Ⅱ）因为f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
由（Ⅰ）知：0＜x≤

π

6

，得到

π

3

＜2x+

π

3

≤

2π

3

，∴

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴函数f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

的值域为[

3

2

，1]．

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．