Question

已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，则在抛物线C上且满足△OFP为等腰直角三角形的点P的个数为

1. A.
   2
2. B.
   4
3. C.
   2或4
4. D.
   P点不存在

Answer 1

D
分析：首先求出F点坐标和准线方程，然后分情况讨论（1）如果∠POF=90°，此时P在Y轴上，舍去；（2）若∠OPF=90°，能够得出斜边为OF=8，PF=4，再根据抛物线定义得出p的横坐标小于零，舍去；（3）若∠OFP=90，能够得出PF=OF=8，再利用焦点弦求出p的横坐标为零，与O点重合，舍去；从而得出答案．
解答：根据抛物线可知F（8，0），准线X=-8
（1）如果∠POF=90°，这是不可能的，因为此时P在Y轴上，所以舍去
（2）若∠OPF=90°那么此时等腰直角三角形的斜边为OF=8
所以此时PF=4
PF=d【d为P到准线的距离】，设P（x，y）
那么：d=x+8
x=4-8＜0
所以此时P在第二象限，不在抛物线上，舍去此种情况
（3）若∠OFP=90°那么此时OF为等腰直角三角形的直角边，OF=8 那么PF=OF=8
还是用焦点弦的性质：PF=8=d=x+8 x=0
此时P与O重合，所以构不成三角形，也舍去此种情况
所以，综上所诉：不存在一点P满足题意．
故选D．
点评：本题考查了抛物线的简单性质，要注意分类讨论，属于难题．