Question

点B₁，B₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短轴端点，椭圆的右焦点为F，△B₁B₂F为等边三角形，点F到椭圆右准线l的距离为1．
（1）求椭圆方程；
（2）求经过点O、F且与右准线l相切的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）可得OF=c，OB₂=b，B₂F=a，可得离心率和准线方程，解方程组可得ab的值，可得方程；
（2）可得右准线方程为x=4，由题意可设圆心D(

3

2

，  m)，半径为

5

2

，可得圆的方程，代入点O（0，0）可的m的方程，解之可得答案．

解答：解：（1）因为△B₁B₂F为正三角形，OF=c，OB₂=b，B₂F=a，
所以e=

c

a

=

OF

FB2

=cos30°=

3

2

．…（3分）
准线l的方程：x=

a2

c

，
所以

c a = 3 2 ，   a2 c -c=1

解之得

a=2 3 c=3，

…（6分）
于是b=

3

．
故椭圆方程为

x2

12

+

y2

3

=1．…（7分）
（2）设所求圆的圆心为D，由（1）知椭圆的右准线方程为x=4，…（8分）
因为圆D过点O，F，且与直线x=4相切，
所以可设圆心D(

3

2

，  m)，半径为

5

2

，
于是圆D的方程为(x-

3

2

)2+(y-m)2=

25

4

，…（11分）
因为点O（0，0）在圆D上，
所以

9

4

+m2=

25

4

，解得m=2或m=-2，
所求圆的方程为(x-

3

2

)2+(y-2)2=

25

4

或(x-

3

2

)2+(y+2)2=

25

4

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆离心率的求解及直线与圆的位置关系，属中档题．