Question

注意：第（3）小题平行班学生不必做，特保班学生必须做．
已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x²=4y的焦点，离心率e=

2

5

，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（m，0）是线段OF上的一个动点，且(

MA

+

MB

)⊥

AB

，求m的取值范围；
（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，把抛物线方程整理成标准方程，求得焦点的坐标，进而求得椭圆的一个顶点，即b，利用离心率求得a和c关系进而求得a，则椭圆的方程可得．
（2）设直线l的方程为y=k（x-2）（k≠0），代入椭圆方程，利用韦达定理结合向量的数量积公式，即可求得m的取值范围；
（3）确定直线BC的方程，令y=0，结合A，B在l的方程y=k（x-2）上，即可求得结论．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
抛物线方程化为x²=4y，其焦点为（0，1）则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1
由e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

5

，∴a²=5，
所以椭圆C的标准方程为

x2

5

+y²=1；
（2）由（1）得F（2，0），则0≤m≤2
设直线l的方程为y=k（x-2）（k≠0），代入椭圆方程，消去y可得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

20k2

5k2+1

，x₁x₂=

20k2-5

5k2+1

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂）
∵(

MA

+

MB

)⊥

AB

∴(

MA

+

MB

)•

AB

=0
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0
∴

20k2

5k2+1

-2m-

4k2

5k2+1

=0
∴k2=

m

8-5m

∴k2=

m

8-5m

＞0
∴0＜m＜

8

5

∴当0＜m＜

8

5

时，(

MA

+

MB

)⊥

AB

；
（3）在x轴上存在一个定点N，使得C、B、N三点共线
由题意C（x₁，-y₁），∴直线BC的方程为y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)
令y=0，则x=

y1x2+y2x1

y2+y1

∵A，B在l的方程y=k（x-2）上
∴y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2）
∴x=

y1x2+y2x1

y2+y1

=

2kx1x2-2k(x1+x2)

k(x1+x2)-4k

=

2k× 20k2-5 5k2+1 -2k× 20k2 5k2+1

k× 20k2 5k2+1 -4k

=

5

2

∴在x轴上存在一个定点N（

5

2

，0），使得C、B、N三点共线．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．