Question

椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在y轴上，离心率为

2

2

，以短轴的一个端点与两焦点为顶点的三角形的面积为

1

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（0，m）存在直线l与椭圆C交于相异两点A，B，满足：

AP

=λ

PB

且

OA

+λ

OB

=4

OP

，求常数λ的值和实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)由题意得出a，b，c的关系，由此能够求出a，b，c的值，从而得到所求椭圆方程．
（2）设直线l的方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量条件即可求得m的取值范围，从而解决问题．

解答：解：（1）设椭圆的方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意知，

1

2

b•(2c)=

1

2

，且e=

c

a

=

2

2

，
解得：a=1，b=c=

2

2

．
故椭圆C的方程为：y²+2x²=1．
（2）由

AP

=λ

PB

得，

OP

-

OA

=λ(

OB

-

OP

)，
∴(1+λ)

OP

=

OA

+λ

OB

=4

OP

，
∴1+λ=4，λ=3．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，
且与椭圆C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m 2x2+y2=1

得：（k²+2）x²+2kmx+m²-1=0，
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0，x1+x2=-

2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

，
由

AP

=3

PB

得-x₁=3x₂，
∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x₂²，
消去x₁，x₂得：3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
即3(

-2km

k2+2

)2+4×

m2-1

k2+2

=0，（4m²-1）k²=2-2m²．
当m2=

1

4

时，上式不成立，∴k2=

2-2m2

4m2-1

，
代入△＞0，即k²＞2m²-2，得

2-2m2

4m2-1

＞2m2-2恒成立，
即

(2-2m2)(4m2)

4m2-1

＞0，解得

1

4

＜m2＜1，
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1．
当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x=0得m=±

1

2

．
综上所述：m的取值范围为(-1，-

1

2

]∪[

1

2

，1)．

点评：本题考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，向量问题，成为解决本题的关键．本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．