Question

已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=

3

2

，P是椭圆上一动点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为

3

．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线l为圆x2+y2=

4

5

的切线，且直线l交椭圆C于A、B两点，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（I）设出椭圆C的标准方程，根据椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=

3

2

，P是椭圆上一动点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为

3

．分别求出a，b的值，即可得到椭圆C的方程；
（II）由直线l为圆x2+y2=

4

5

的切线，分斜率存在和不存在两种情况，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），构造方程，利用“设而不求”“联立方程”“韦达定理”，求出满足条件的点的

OA

•

OB

的表达式，即可确定

OA

•

OB

的值．

解答：解：（I）设

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∴

c

a

=

3

2

又

1

2

•2c•b=

3

解得a=2，b=1
∴

x2

4

+y2=1
（II）当l斜率存在时，设l：y=kx+m代入椭圆方程得（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0△＞0设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∴x1+x2=

-8mk

1+4k2

x1•x2=

4m2-4

1+4k2

∴y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

5m2-4k2-4

1+4k2

又l与圆C相切，
∴

|m|

1+k2

=

2

5

5

?5m2-4k2-4=0
∴

OA

•

OB

=0
当l斜率不存在时，l：x=±

2

5

5

易解得：A(

2

5

5

，

2

5

5

)或A(-

2

5

5

，

2

5

5

)
∴

OA

•

OB

=0
综上

OA

•

OB

=0

点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键．