Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=58，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若{b_n}为等比数列，且b₅•b₆+b₄•b₇=a₈，记T_n=log₃b₁+log₃b₂+…+log₃b_n，求T₁₀值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由S₃+S₅=58，得3a₁+3d+5a₁+10d=8a₁+13d=58，①
∵a₁，a₃，a₇成等比数列，a₃²=a₁a₇，
即（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），整理得a₁=2d，
代入①得d=2，a₁=4，
∴a_n=2n+2． …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a₈=18，b₅•b₆+b₄•b₇=2b₅•b₆=18，解得b₅•b₆=9．
∵T₁₀=log₃b₁+log₃b₂+log₃b₃+…+log₃b₁₀
=log₃（b₁•b₁₀）+log₃（b₂•b₉）+…+log₃（b₅•b₆）
=5log₃（b₅•b₆）=5log₃9=10． …（12分）
分析：（Ⅰ）根据S₃+S₅=58，a₁，a₃，a₇成等比数列，建立方程组，求出基本量，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（II）利用等比数列的性质，结合对数的运算法则，可得结论．
点评：本题考查等差数列的通项，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．