Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2$\sqrt{7}$，E为棱PD中点．
（1）求证：PD⊥平面ABE；
（2）求四棱锥P-ABCD外接球的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥AB，AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥PD，再由AE⊥PD，能证明PD⊥平面ABE．
（II）四棱锥P-ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，由此能求出四棱锥P-ABCD外接球的体积．

解答 证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，
∴AB⊥AD，PA∩AD，
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，
∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，
∴PD⊥平面ABE．
解：（II）四棱锥P-ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，
由已知BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{7}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
设C为BD中点，∴AM=2$\sqrt{2}$，OM=$\frac{1}{2}$AP=1，
∴OA=$\sqrt{A{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=3，
∴四棱锥P-ABCD外接球的体积是$\frac{4}{3}πA{M}^{3}$=36π．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．