Question

3．已知数列{a_n}满足$\sum_{i=1}^{n}$（-1）ⁱ⁺¹$\frac{{a}_{i}}{{2}^{i}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，则数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 n=1时，$\frac{{a}_{1}}{3}$=$\frac{1}{2}$，可得a₁．n≥2时，$\sum_{i=1}^{n}$（-1）ⁱ⁺¹$\frac{{a}_{i}}{{2}^{i}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，$\sum_{i=1}^{n-1}$（-1）ⁱ$•\frac{{a}_{i}}{{2}^{i}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，相减可得：（-1）ⁿ$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，可得a_n．

解答 解：n=1时，$\frac{{a}_{1}}{3}$=$\frac{1}{2}$，∴a₁=$\frac{3}{2}$．
n≥2时，$\sum_{i=1}^{n}$（-1）ⁱ⁺¹$\frac{{a}_{i}}{{2}^{i}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，$\sum_{i=1}^{n-1}$（-1）ⁱ$•\frac{{a}_{i}}{{2}^{i}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，相减可得：（-1）ⁿ$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，可得a_n=（-1）ⁿ$（1+\frac{1}{{2}^{n}}）$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．