Question

12．如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D₁-ABCE，其中平面D₁AE⊥平面ABCE．
（Ⅰ）证明：BE⊥平面D₁AE；
（Ⅱ）求三棱锥C-BD₁E的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过D₁作D₁F⊥AE交AE于F，由已知结合面面垂直的性质可得D₁F⊥平面ABCE，进一步得到BE⊥D₁F，在△ABE中，$AB=4，AE=BE=2\sqrt{2}$，满足AB²=AE²+BE² ，可得BE⊥AE，再由线面垂直的判定可得BE⊥平面D₁AE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${D_1}F=\sqrt{2}$，且为三棱锥D₁-BCE的高，然后利用等积法求得三棱锥C-BD₁E的体积．

解答 （Ⅰ）证明：过D₁作D₁F⊥AE交AE于F，
∵平面D₁AE⊥平面ABCE，且平面D₁AE∩平面ABCE=AE，∴D₁F⊥平面ABCE，
∵BE?平面ABCE，∴BE⊥D₁F，
在△ABE中，$AB=4，AE=BE=2\sqrt{2}$，满足AB²=AE²+BE² ，
∴BE⊥AE，又∵AE∩D₁F=F，
∴BE⊥平面D₁AE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得${D_1}F=\sqrt{2}$，且为三棱锥D₁-BCE的高，
由此可得${V_{C-B{D_1}E}}={V_{{D_1}-BCE}}=\frac{1}{3}{S_{△BCE}}•{D_1}F=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×CE×{D_1}F=\frac{1}{6}×2×2×\sqrt{2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．