Question

11．如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=$\sqrt{6}$，E是棱PC上的点，过AE作平面分别与棱PB、PD交于M、N两点，且$\frac{PM}{PB}$=$\frac{PN}{PD}$=$\frac{2}{3}$．
（1）若$\frac{PE}{PC}$=λ，试猜想λ的值，并证明猜想结果；
（2）求四棱锥P-AMEN的体积．

Answer 1

分析 （1）由题意建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，利用平面向量基本定理证明λ的值为$\frac{1}{2}$；
（2）由已知求出三角形PAE的面积，再由等积法求得四棱锥P-AMEN的体积．

解答 解：（1）猜想λ的值为$\frac{1}{2}$．
证明如下：
连结AC，BD，交于点O，连结OP，
∵在正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=$\sqrt{6}$，E是棱PC上的点，
∴AC⊥BD，OP⊥平面ABCD，OA=OB=OC=OD=$\sqrt{2}$，OP=$\sqrt{6-2}$=2，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），D（0，-$\sqrt{2}$，0），P（0，0，2），
∵过AE作平面分别与棱PB、PD交于M、N两点，且$\frac{PM}{PB}$=$\frac{PN}{PD}$=$\frac{2}{3}$，
∴M（0，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2}{3}$），N（0，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2}{3}$），设E（a，b，c），$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PC}$，
则（a，b，c-2）=（-$\sqrt{2}λ$，0，-2λ），∴$a=-\sqrt{2}λ$，b=0，c=2-2λ，
∴E（-$\sqrt{2}λ$，0，2-2λ），
∵$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{2}λ-\sqrt{2}$，0，2-2λ），$\overrightarrow{AM}=（-\sqrt{2}，\frac{2\sqrt{2}}{3}，\frac{2}{3}）$，$\overrightarrow{AN}=（-\sqrt{2}，-\frac{2\sqrt{2}}{3}，\frac{2}{3}）$，
由$\overrightarrow{AE}=s\overrightarrow{AM}+t\overrightarrow{AN}$，得（-$\sqrt{2}λ-\sqrt{2}$，0，2-2λ）=（$-\sqrt{2}s-\sqrt{2}t$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}s-\frac{2\sqrt{2}}{3}t$，$\frac{2}{3}s+\frac{2}{3}t$），
解得$λ=\frac{1}{2}$．
（2）在△PAC中，∵PA=PC=$\sqrt{6}$，AC=$2\sqrt{2}$，
∴${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2=\sqrt{2}$，则S_△PAE=1，
∵MN=$\frac{2}{3}BD=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴V_P-AMEN=$\frac{1}{3}×{S}_{△PAE}•MN=\frac{1}{3}×1×\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查柱、锥、台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解存在性问题，是中档题．