Question

6．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：

女性用户	分值区间	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）
	频数	20	40	80	50	10
男性用户	分值区间	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）
	频数	45	75	90	60	30

（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：

由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，
其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，
记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，
$P（X=1）=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，
$P（X=2）=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^3C_2^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$．
所以X的分布列为

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

$EX=\frac{4}{6}×3=2$或$EX=\frac{1}{5}+\frac{6}{5}+\frac{3}{5}=2$．

点评 本题考查频率分布直方略产的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．