Question

15．在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x（单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润．
（Ⅰ）求T关于x的函数解析式；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于100元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），则取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的频率），求T的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，当60≤X≤90时，求出利润T，当90＜X≤110时，求出利润T，由此能求出T关于x的函数解析式．
（Ⅱ）由题意，设利润T不少于100元为事件A，利润T不少于100元时，即70≤X≤110，由此利用对立事件概率计算公式能求出T的分布列和数学期望．
（III）由题意，利润T的取值可为：80，120，160，180，分别求出相应的概率，由此能求出利润的数学期望E（T）．

解答 解：（Ⅰ）由题意，当60≤X≤90时，利润T=5X+1×（90-X）-3×90=4X-180，
当90＜X≤110时，利润T=5×90-3×90=180，
即T关于x的函数解析式T=$\left\{\begin{array}{l}{4X-180，（60≤X≤90）}\\{180，（90＜X≤110）}\end{array}\right.$．…（4分）
（Ⅱ）由题意，设利润T不少于100元为事件A，
由（Ⅰ）知，利润T不少于100元时，即4X-180≥100，
∴X≥70，即70≤X≤110，
由直方图可知，当70≤X≤110时，
所求概率为：
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-0.025×（70-60）=0.75．…（7分）
（ III）由题意，由于4×65-180=80，4×75-180=120，
4×85-180=160，
故利润T的取值可为：80，120，160，180，
且P（T=80）=0.25，P（T=120）=0.15，P（T=160）=0.2，P（T=180）=0.4，…（9分）
故T的分布列为：

T	80	120	160	180
P	0.25	0.15	0.2	0.4

∴利润的数学期望：
E（T）=80×0.25+120×0.15+160×0.20+180×0.40=142．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．