Question

对于函数f（x）=x³+3x+a，在曲线y=

2x

x2+1

上存在点（s，t），使得f（f（t））=t，则a的取值范围是（　　）

• A、（-3，0）
• B、[-3，0]
• C、（-3，3）
• D、[-3，3]

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：设f（t）=t，则f（x）=x³+3x+a=x，从而a=-x³-x，由此能求出-2≤a≤2；假设f（t）=b＞t，则f（b）＞t，由f（x）=x³+3x+a，得a=-x³-3x，由

2x

x2+1

=x，得-3≤a≤3．由此能求出a的取值范围．

解答： 解：①设f（t）=t，则f（x）=x³+3x+a=x，
∴x³+2x+a=0
a=-x³-x，
∵曲线y=

2x

x2+1

上存在点（s，t），使f（t）=t，
∴

2x

x2+1

=x，解得x=0或x=±1，
∴a=0或a=±2．
∴-2≤a≤2；
②∵函数函数f（x）=x³+3x+a单调递增，
∴假设f（t）=b＞t，则f（b）＞t，
∵f（x）=x³+3x+a，
∴a=-x³-3x
∵曲线y=

2x

x2+1

上存在点（s，t），使f（t）=t，
∴

2x

x2+1

=x，解得x=0或x=±1，
∴a=0或a=±3．
∴-3≤a≤3．
综上所述a的取值范围是[-3，3]．
故选：D．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．