Question

（2012•赣州模拟）函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f'（x）=0的两根为x₁，x₂，则|x₁-x₂|的取值范围是（　　）

• A．[

  3

  3

  ，

  2

  3

  )
• B．[

  1

  3

  ，

  4

  9

  )
• C．[

  1

  3

  ，

  3

  3

  )
• D．[

  1

  9

  ，

  1

  3

  )

Answer 1

分析：先求出f′（x）=3ax²+2bx+c，可得 |x 1- x 2|2=

4b2-12ac

9a2

=

4

9

(

b

a

)2+

4

3

•

b

a

+

4

3

，由f′0）•f′（1）＞0，
解得-2＜

b

a

＜-1，利用二次函数的性质求出|x 1- x 2|2的范围，即可求得|x₁-x₂|的取值范围．

解答：解：由题意得：f′（x）=3ax²+2bx+c，∵x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁•x₂=

c

3a

．∴|x₁-x₂|² =(x 1+ x 2)2-4x₁x₂ ，
∴|x 1- x 2|2=(x 1+ x 2)2-4x₁•x₂ =

4b2-12ac

9a2

．
∵a+b+c=0，∴c=-a-b，
∴|x 1- x 2|2=

4b2-12ac

9a2

=

4

9

 (

b

a

)2+

4

3

•

b

a

+

4

3

．
∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=-（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，
即2a²+3ab+b²＜0，∵a≠0，两边同除以a²得：(

b

a

)2+3

b

a

+2＜0，解得-2＜

b

a

＜-1．
由二次函数的性质可得，当

b

a

=-

3

2

时，|x 1- x 2|2有最小值为

1

3

，
当

b

a

趋于-1时，|x 1- x 2|2 趋于

4

9

，故 |x 1- x 2|2∈[

1

3

，

4

9

)，
故|x₁-x₂|∈[

3

3

，

2

3

)，
故选A．

点评：本题考查根与系数的关系的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．