Question

在数列a_n中，a₁=1，2an+1=(1+

1

n

)2•an．
（Ⅰ）证明数列{

an

n2

}是等比数列，并求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）令bn=an+1-

1

2

an，求数列b_n的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）由条件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，（2分）
又n=1时，

an

n2

=1，（3分）
故数列{

an

n2

}构成首项为1，公式为

1

2

的等比数列．（4分）
从而

an

n2

=

1

2n-1

，即an=

n2

2n-1

．（6分）
（Ⅱ）由bn=

(n+1)2

2n

-

n2

2n

=

2n+1

2n

（8分）
得Sn=

3

2

+

5

22

+… +

2n+1

2n

?

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

，
两式相减得：

1

2

Sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n+1

2n+1

，（10分）
所以Sn=5-

2n+5

2n

．（12分）