Question

7．已知sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，且0＜α＜π，求下列各式的值：
（1）sinαcosα；（2）sinα+cosα；（3）sin³α+cos³α．

Answer 1

分析 （1）把sinα-cosα=$\frac{1}{5}$两边同时平方，利用同角三角函数关系式能求出sinαcosα．
（2）先求出sinα＞0，cosα＞0，再求出（sinα+cosα）²，由此能求出sinα+cosα．
（3）由sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α），能求出结果．

解答 解：（1）∵sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，且0＜α＜π，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，
∴2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，∴sinαcosα=$\frac{12}{25}$．
（2）∵0＜α＜π，sinαcosα=$\frac{12}{25}$，∴sinα＞0，cosα＞0，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1+$\frac{24}{25}$=$\frac{49}{25}$，
∴sinα+cosα=$\frac{7}{5}$．
（3）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=$\frac{7}{5}$（1-$\frac{12}{25}$）
=$\frac{91}{125}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式、完全平方式、立方和公式的合理运用．