Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的

3

倍，F₁，F₂是它的左，右焦点．
（1）若P∈C，且

PF1

•

PF

2=0，|PF₁|•|PF₂|=4，求F₁、F₂的坐标；
（2）在（1）的条件下，过动点Q作以F₂为圆心、以1为半径的圆的切线QM（M是切点），且使|QF_|=

2

|QM|，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）依题意知a=

3

b，由

PF1

•

PF2

=0，知|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=4（a²-b²）=8b²，由椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，（|PF₁|+|PF₂|）²=8b²+8=4a²，由此能求出F₁、F₂的坐标．
（2）由|QF1| =

2

|QM|，知|QF₁|²=2|QM|²，由QM是⊙F₂的切线，知|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）．设Q（x，y），则（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]．由此能求出动点Q的轨迹方程．

解答：解：（1）依题意知a=

3

b①（1分）
∵

PF1

•

PF2

=0∴PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=4（a²-b²）=8b²（3分）
又P∈C，由椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，
（|PF₁|+|PF₂|）²=8b²+8=4a²②（5分）
由①②得a²=6，b²=2?c=2．
∴F₁（-2，0）、F₂（2，0）（7分）
（2）由已知|QF_|=

2

|QM|，
即|QF₁|²=2|QM|²（9分）
∵QM是⊙F₂的切线，
∴|QM|²=|QF₂|²-1
∴|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）（11分）
设Q（x，y），
则（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]
即（x-6）²+y²=34（或x²+y²-12x+2=0）（13分）
综上所述，所求动点Q的轨迹方程为：（x-6）²+y²=34（14分）

点评：本题考查焦点坐标和轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．