Question

5．动圆G与圆O₁：x²+y²+2x=0外切，同时与圆O₂：x²+y²-2x-8=0内切，设动圆圆心G的轨迹为Γ．
（1）求曲线Γ的方程；
（2）直线x=t（t＞0）与曲线Γ相交于不同的两点M，N，以MN为直径作圆C，若圆C与y轴相交于两点P，Q，求△PQC面积的最大值；
（3）设D（${\sqrt{3}$，0），过D点的直线l（不垂直x轴）与曲线Γ相交于A，B两点，与y轴交于点E，若$\overrightarrow{EA}$=λ$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EB}$=μ$\overrightarrow{BD}$，试探究λ+μ的值是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圆O₁，圆O₂的圆心、半径，由两圆相切的条件，结合椭圆的定义，可得动圆圆心G的轨迹方程；
（2）设圆心为C（t，0）（0＜t＜2）．求得圆C的半径，弦长PQ，由三角形的面积公式，化简运用基本不等式，即可得到最大值；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理，结合向量共线的坐标表示，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（1）圆O₁：x²+y²+2x=0的圆心为（-1，0），半径为1，
圆O₂：x²+y²-2x-8=0为（1，0），半径为3，
设圆G的半径为r，依题意得：|GO₁|=r+1，|GO₂|=3-r，
所以|GO₁|+|GO₂|=4＞|O₁O₂|=2，
所以G点轨迹是以O₁，O₂为焦点的椭圆，
即有a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
所以曲线Γ的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）依题意，圆心为C（t，0）（0＜t＜2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$ 得y²=$\frac{12-3{t}^{2}}{4}$．
∴圆C的半径为r=$\frac{\sqrt{12-3{t}^{2}}}{2}$．
∵圆C与y轴相交于不同的两点P，Q，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴0＜t＜$\frac{\sqrt{12-3{t}^{2}}}{2}$，即0＜t＜$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴弦长|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{12-7{t}^{2}}$
∴△PQC的面积S=$\frac{1}{2}$t$\sqrt{12-7{t}^{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{7}}$（$\sqrt{7}$t）$\sqrt{12-7{t}^{2}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{7}}$•$\frac{7{t}^{2}+12-7{t}^{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
即有S=$\frac{1}{2}$t$\sqrt{12-7{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
当且仅当$\sqrt{7}$t=$\sqrt{12-7{t}^{2}}$即t=$\frac{\sqrt{42}}{7}$时，等号成立，
所以△PQC面积的最大值是$\frac{3\sqrt{7}}{7}$；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=k（x-$\sqrt{3}$），则E（0，-$\sqrt{3}$k），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$可得（3+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12（k²-1）=0，
x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，①x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，②
由$\overrightarrow{EA}$=λ$\overrightarrow{AD}$，得（-x₁，-$\sqrt{3}$k-y₁）=λ（$\sqrt{3}$-x₁，-y₁），
得-x₁=λ（$\sqrt{3}$-x₁），则λ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$，
同理可得μ=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$，
λ+μ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+3}$，
代入①②化简可得λ+μ=8．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，考查弦长公式和相切的条件，同时考查椭圆的定义、方程和性质，向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．