Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边长为a，b，c，已知b+c=1+$\sqrt{2}$，∠B=30°，∠C=45°，则a=$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 作CD⊥AB于点D．设CD=x，利用三角函数表示出a、b，然后根据b+c=1+$\sqrt{2}$，列方程求得x的值，进而求得c的值．

解答 解：作AD⊥BC于点D．
设AD=x，
在直角△ABD中，∠B=30°，则AB=2AD=2x，BD=$\sqrt{3}$x，
在直角△ACD中，∠C=45°，则AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$x，CD=AD=x，
∵b+c=1+$\sqrt{2}$，
∴2x+$\sqrt{2}$x=1+$\sqrt{2}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故a=BD+DC=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键，属于基本知识的考查．