Question

2．已知函数f（x）在R上可导，下列四个选项中正确的是（　　）

• A． 若f（x）＞f′（x）对x∈R恒成立，则 ef（1）＜f（2）
• B． 若f（x）＜f′（x）对x∈R恒成立，则e²f（-1）＞f（1）
• C． 若f（x）+f′（x）＞0对x∈R恒成立，则ef（2）＜f（1）
• D． 若f（x）+f′（x）＜0对x∈R恒成立，则f（-1）＞e²f（1）

Answer 1

分析 对于A，B构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数和函数的单调性的关系加以判断，
对于A，B构造函数g（x）=e^xf（x），利用导数和函数的单调性的关系加以判断．

解答 解：对于A，对于A，f（x）＞f′（x）对x∈R恒成立，设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0恒成立，
故g（x）在R上单调递减，
∴$\frac{f（1）}{e}$＞$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，即ef（1）＞f（2），故A错误，
对于B，f（x）＞f′（x）对x∈R恒成立，设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0恒成立，
故g（x）在R上单调递增，
∴$\frac{f（-1）}{{e}^{-1}}$＜$\frac{f（1）}{e}$，即e²f（-1）＜f（1），故B错误，
对于C，若f（x）+f′（x）＞0对x∈R恒成立，设g（x）=e^xf（x），
则g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））＞0恒成立，
故g（x）在R上单调递增，∴e²f（2）＞ef（1），即ef（2）＞f（1），故C错误，
对于D，若f（x）+f′（x）＜0对x∈R恒成立，设g（x）=e^xf（x），
则g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））＜0恒成立，
故g（x）在R上单调递减，
∴e^-1f（-1）＞ef（1），即f（-1）＞e²f（1），故D正确．
故选：D．

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题．