Question

12．函数f（x）=4^x-3•2^x+3的值域为[1，7]，则f（x）的定义域为（　　）

• A． （-1，1）∪[2，4]
• B． （0，1）∪[2，4]
• C． [2，4]
• D． （-∞，0]∪[1，2]

Answer 1

分析 设t=2^x则t＞0，代入原函数利用配方法化简，根据函数的值域和二次函数的性质求出t的范围，再由指数函数的性质求出x的范围，可得f（x）的定义域．

解答 解：设t=2^x，则t＞0，
代入原函数得：y=t²-3t+3=${（t-\frac{3}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
∵函数f（x）=4^x-3•2^x+3的值域为[1，7]，
∴函数y=t²-3t+3的值域为[1，7]，
由y=1得t=1或2，由y=7得t=4或-1（舍去），
则0＜t≤1或2≤t≤4，
即0＜2^x≤1或2≤2^x≤4，解得x＜0或1≤x≤2，
∴f（x）的定义域是（-∞，0]∪[1，2]，
故选：D．

点评 本题考查指数函数的性质，二次函数的性质的应用，以及换元法的应用，属于中档题．