Question

7．如图，在平面直角坐标系中，锐角a、β的终边分别与单位圆交于A、B两点．
（Ⅰ）如果sinα=$\frac{3}{5}$，点B的横坐标为$\frac{5}{13}$，求cos（α+β）的值；
（Ⅱ）已知点C（2$\sqrt{3}$，-2），函数f（α）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$，若f（α）=2$\sqrt{2}$，求α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用同角的平方关系和任意角的三角函数的定义，结合两角和的余弦公式，计算即可得到所求；
（Ⅱ）运用向量的数量积的坐标表示，结合两角和的余弦公式，由特殊角的三角函数值，即可得到．

解答 解：（Ⅰ）sinα=$\frac{3}{5}$，α为锐角，则cosα=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，
点B的横坐标为$\frac{5}{13}$，即有cosβ=$\frac{5}{13}$，sinβ=$\frac{12}{13}$，
则cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$=-$\frac{16}{65}$；
（Ⅱ） 由题意可知，$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OC}$=（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），
则f（α）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=2$\sqrt{3}$cosα-2sinα=4cos（α+$\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{2}$，
即cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
则α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$，
即有α=$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查三角函数的求值，注意运用三角函数的定义和两角和的余弦公式，考查向量的数量积的坐标表示，属于中档题．