Question

12．设f（x）是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意的实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x）-x，则f（$\frac{3}{2}$）的值为（　　）

• A． -$\frac{5}{2}$
• B． 0
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用赋值法先令x=$\frac{1}{2}$，然后再令x=-$\frac{1}{2}$，联立方程进行求解即可．

解答 解：令x=$\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$+1）=（1+$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$，①
在令x=-$\frac{1}{2}$，
则-$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$+1）=（1-$\frac{1}{2}$）f（-$\frac{1}{2}$）-（-$\frac{1}{2}$），②
即-$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$，
∵f（x）是偶函数，
∴-$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$，
则f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，代入①得：
$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$=-$\frac{5}{4}$，
∴f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
故选：A

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数的奇偶性是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．