Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，BC=

2

，且PC⊥CD，BC⊥PA，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面EAC；
（Ⅱ）若平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为

3

3

，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由AC=BC=

2

，得AC⊥BC，从而BC⊥平面PAC，BC⊥PC，又PC⊥CD，从而PC⊥AC，由此能证明平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）以点C为原点，DA，CD，CP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB=2AD=2CD=2，BC=

2

，∴AC=BC=

2

．
∴AC2+BC2=AB2．∴AC⊥BC，
又BC⊥PA，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，又PC⊥CD，BC∩CD=C，
∴PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，
又PC∩BC=C，∴AC⊥平面PBC，
又AC?面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：以点C为原点，DA，CD，CP分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0），
设P（0，0，a）（a＞0），
则E（

1

2

，-

1

2

，

a

2

），

CA

=（1，1，0），

CP

=（0，0，a），

CE

=（

1

2

，-

1

2

，

a

2

），
设平面PAC的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • CA =x+y=0 m • CP =az=0

，取x=1，得

m

=（1，-1，0），
设面EAC的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
则

n • CA =x1+y1=0 n • CE = 1 2 x1- 1 2 y1+ a 2 z1=0

，取x₁=a，则

n

=(a，-a，-2)，
依题意，|cos＜

m

，

n

＞|=

2a

2 • 2a2+4

=

a

a2+2

=

3

3

，
则a=1，于是

n

=（1，-1，-2），

PA

=（1，1，-2）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

PA

，

n

＞|=

1-1+4

6 • 6

=

2

3

，
∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

2

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．