Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2BC=2CD，E是PA的中点．
（I）求证：DE∥平面PBC；
（II）求证：AD⊥PB．

Answer 1

分析：（I）取PB中点F，连接EF，FC，得到EF

∥

.

1

2

AB，由CD

∥

.

1

2

AB，知EF

∥

.

CD，故EFCD是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．
（II）由PD⊥底面ABCD，AD?面ABCD，知AD⊥PD，设BC=1，则CD=1，AB=2，由BC=CD，BC⊥CD，知BD=

2

，∠DBC=45°，在△ABD中，AB=2，BD=

2

，∠ABD=45°，由此能够证明AD⊥PB．

解答：证明：（I）取PB的中点F，连接EF，FC，
∵E，F分别是PA，PB的中点，∴EF

∥

.

1

2

AB，
∵CD

∥

.

1

2

AB，∴EF

∥

.

CD，
∴EFCD是平行四边形，∴DE∥CF，
又∵CF?平面PBC，ED?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（II）∵PD⊥底面ABCD，AD?面ABCD，
∴AD⊥PD，
设BC=1，∵AB=2BC=2CD，∴CD=1，AB=2，
∵BC=CD，BC⊥CD，
∴BD=

2

，∠DBC=45°，
在△ABD中，AB=2，BD=

2

，∠ABD=45°，
∴AD2=AB2+BD2-2•AB•BD•cos

π

4

=4+2-2•2•

2

•

2

2

=2，
∴AD=

2

，
由AD²+BD²=AB²，得∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵PD?平面PBD，BD?平面PBD，
∴AD⊥平面PBD，
∵PB?面PBD，
∴AD⊥PB．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与直线垂直的证明．解题时要认真审题，仔细解答，合理地化空间问题为平面问题．