Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为

3

，过椭圆C的右焦点的动直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标为

1

2

，求直线l的方程；
（3）若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦AB的中点为P，试求

| DP|

| AB|

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

c a = 1 2 1 2 ×2c×b= 3 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）设过椭圆C的右焦点的动直线l的方程为y=k（x-1），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得出k．
（3）利用中点坐标公式和弦长公式即可得出．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为

3

，∴

c a = 1 2 1 2 ×2c×b= 3 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3，c=1．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设过椭圆C的右焦点的动直线l的方程为y=k（x-1），
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

化为（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∵AB中点的横坐标为

1

2

，∴

4k2

3+4k2

=

1

2

，解得k=±

3

2

．
∴直线l的方程y=±

3

2

(x-1)．
（3）由（2）知AB的中点为P(

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

)，
直线PD的方程为y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)，由y=0，得x=

k2

3+4k2

，
则D(

k2

4k2+3

，0)，∴|

DP

|=

3 k2(1+k2)

3+4k2

．
又|

AB

|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k2 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2 ]

=

12(k2+1)

3+4k2

．
∴

| DP |

| AB |

=

3 k2(1+k2) 3+4k2

12(1+k2) 3+4k2

=

1

4

•

k2 k2+1

=

1

4

•

1- 1 1+k2

又∵k²+1＞1，∴0＜

1

1+k2

＜1．∴0＜

1

4

•

1- 1 1+k2

＜

1

4

．
∴

| DP |

| AB |

的取值范围是(0，

1

4

)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．