Question

12．已知函数f（x）满足$f（x+1）=\frac{2f（x）}{f（x）+2}$，f（1）=1，（x∈R，x≠-1）．
（1）分别计算f（2）、f（3）、f（4）的值，并猜函数f（x）的表达式；（不需要证明）
（2）求集合A={x|f（x）＜x}．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）满足$f（x+1）=\frac{2f（x）}{f（x）+2}$，f（1）=1，逐项代入可得f（2）、f（3）、f（4）的值，分析函数值与自变量的关系，可猜函数f（x）的表达式；
（2）由f（x）＜x，得$\frac{2}{x+1}＜x$，解得集合A．

解答 解：（1）∵函数f（x）满足$f（x+1）=\frac{2f（x）}{f（x）+2}$，f（1）=1，
∴$f（1）=1=\frac{2}{2}$，
$f（2）=\frac{2f（1）}{f（1）+2}=\frac{2}{3}$，…（1分）
$f（3）=\frac{2f（2）}{f（2）+2}=\frac{{2×\frac{2}{3}}}{{\frac{2}{3}+2}}=\frac{2}{4}$，…（2分）  
$f（4）=\frac{2f（3）}{f（3）+2}=\frac{{2×\frac{2}{4}}}{{\frac{2}{4}+2}}=\frac{2}{5}$，…（3分）
∴猜想：$f（x）=\frac{2}{x+1}$．…（6分）
（2）由f（x）＜x，得$\frac{2}{x+1}＜x$，
∴$\frac{2-x（x+1）}{x+1}＜0$，…（8分）
∴$\frac{{{x^2}+x-2}}{x+1}＞0$，
∴$\frac{（x-1）（x+2）}{x+1}＞0$，
∴（x+2）（x+1）（x-1）＞0，
∴-2＜x＜-1或x＞1，…（13分）
∴集合A={x|-2＜x＜-1或x＞1}．…（14分）

点评 本题考查的知识点是归纳推理，函数求值，解分式不等式，难度不大，属于基础题．