Question

7．若数列{a_n}的第一项a₁=1，且${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$（n=1，2，3，…），则a₁₀=$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 通过对${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$两边同时取倒数，进而计算可得结论．

解答 解：∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，
又∵a₁=1，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+n-1=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$，
∴a₁₀=$\frac{1}{10}$，
故答案为：$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．